20 ． ( 本小题满分 12 分 )

在等差数列 中，公差 的等差中项 .

已知数列 成等比数列，求数列 的通项

21 ． ( 本小题满分 12 分 )

用长为 90cm, 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 , 先在四角分别截去一个小

正方形 , 然后把四边翻转 90 °角 , 再焊接而成 ( 如图 ), 问该容器的高为多少时 , 容器的容积最

大 ? 最大容积是多少 ?

22 ． ( 本小题满分 14 分 )

设 两点在抛物线 上， 是 AB 的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当 取何值时，直线 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论；

（Ⅱ）当 时，求直线 的方程 .

2005 年普通高等学校招生全国统一考试（四川）

数学（文）参考答案

一、 DBBCA ， CCBCD ， BA

二、 13 、 3 ， 14 、 ， 15 、 x+y-2=0 ， 16 、 12

三、解答题：

17 ．解：∵ …………… 2 分 ……… 4 分

………………………………………… 6 分

…………………………… 8 分

……………………………………………… 10 分

又 ∴ ……………………… 12 分

18 ．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A 、 B 、 C ，…… 1 分

则 A 、 B 、 C 相互独立，

由题意得： P （ AB ） =P(A) · P(B)=0.05

P （ AC ） =P(A) · P(C)=0.1

P （ BC ） =P(B) · P(C)=0.125 ………………………………………………………… 4 分

解得： P(A)=0.2 ； P(B)=0.25 ； P(C)=0.5

所以 , 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2 、 0.25 、 0.5 …… 6 分

（Ⅱ）∵ A 、 B 、 C 相互独立，∴ 相互独立，…………………………………… 7 分

∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

………………………… 10 分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为

…… 12 分

19 ．证明： （Ⅰ） 作 AD 的中点 O ，则 VO ⊥ 底面

ABCD ．………………………… 1 分

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1 ，………………………… 2 分

则 A （ ， 0 ， 0 ）， B （ ， 1 ， 0 ）， C （ - ， 1 ， 0 ）， D （ - ， 0 ， 0 ）， V （ 0 ， 0 ， ），

∴ ……………………………… 3 分

由 …………………………………… 4 分

…………………………………… 5 分

又 AB ∩ AV=A ∴ AB ⊥平面 VAD ………………………………………… 6 分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 是 面 VAD 的法向量……………………………… 7 分

设 是面 VDB 的法向量，则

…… 9 分

∴ ，…………………………………… 11 分

又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角，所以其大小为 ………… 12 分

20 ．解：由题意得： …………… 1 分 即 ………… 3 分

又 ………… 4 分 又 成等比数列 ,

∴该数列的公比为 ，……… 6 分 所以 ……… 8 分

又 …………………………………… 10 分

所以数列 的通项为 …………………………… 12 分

21 ．解：设容器的高为 x ，容器的体积为 V ，…………………………………………… 1 分

则 V= （ 90 － 2x ）（ 48 － 2x ） x,(0<V<24) ……………………………………………… 5 分

=4x 3 － 276x 2 +4320x ∵ V ′ =12 x 2 － 552x+4320 ……………………………… 7 分

由 V ′ =12 x 2 － 552x+4320=0 得 x 1 =10 ， x 2 =36

∵ x<10 时， V ′ >0, 10<x<36 时， V ′ <0, x>36 时， V ′ >0,

所以 , 当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960 ……………………………………… 10 分

又 V(0)=0,V(24)=0, ……………………………………………………………… 11 分

所以当 x=10,V 有最大值 V(10)=1960 …………………………………………… 12 分

22 ．解：（Ⅰ）∵抛物线 ，即 ，

∴焦点为 ……………………………………………………… 1 分

（ 1 ）直线 的斜率不存在时，显然有 ……………………………… 3 分

（ 2 ）直线 的斜率存在时，设为 k ， 截距为 b

即直线 ： y=kx+b 由已知得：

…………… 5 分

…………… 7 分

即 的斜率存在时，不可能经过焦点 …………………………………… 8 分

所以当且仅当 =0 时，直线 经过抛物线的焦点 F ………………………… 9 分

（Ⅱ）当 时，

直线 的斜率显然存在，设为 ： y=kx+b ……………………………… 10 分

则由（Ⅰ）得：

……………………… 11 分

………………………………………… 13 分

所以直线 的方程为 ，即 ……………… 14 分